Ein Topf randvoll mit Statistiken

27.04.2021 20:21

Seit nun mehr als zwei Monaten halten wir den neusten Ableger der allseits beliebten Topf-Generation in unseren Händen mit dem Namen Topf des Wohlstands. Dies bedeutet, dass wir nun insgesamt fünf besonders gute und generische Töpfe zur Verfügung stehen haben, welche nicht gebannt sind. Doch heute möchte ich meinen Fokus von den etwas älteren Vertretern Topf der Gegensätzlichkeit und Topf der Trägheit lösen und mich nur auf die drei neuesten Stürzen und auch mal aus statistischer Sicht betrachten. Was sind die Vorteile, was die Nachteile und wo eignet sich der jeweilige Topf mehr als einer der anderen Töpfe.

Bevor es losgeht: die Spielregeln

Bevor ich mich gleich aber ins Getümmel stürze, möchte ich noch einige "Spielregeln" und Hinweise einführen. Den Anfang macht hierbei die mathematische Grundlage. Ich möchte euch natürlich die Möglichkeit geben, die ganzen selber noch mal referenzieren und adaptieren zu können, zugleich muss ich aber auch bedenken, dass sich viele wohl nur für die statistischen Ergebnisse und dessen Interpretationen interessieren. Außerdem möchte ich nicht Rechnungen erklären, die ich schon in anderen Artikeln erklärt habe. Darum halte ich schon mal fest, dass ich in allen Rechenbeispielen von einem 39 Karten Main Deck(mit einem Emporkömmling Goblin) und 15 Karten Extra Deck ausgehe, sowie einer Starthand von fünf Karten, in welcher wir mit hundertprozentiger Sicherheit mit dem entsprechenden Topf starten. Zusätzlich beschränke ich mich immer nur auf die Betrachtung von ein bis sechs "Kopien" einer einzelnen Karte, da dies die wichtigsten Schwellenwerte enthält, die wir für diese Analyse brauchen. Die entsprechenden mathematischen Grundlagen findet ihr in diesem Artikel wieder. Alle weiteren Informationen, die ihr zum Nachrechnen einer bestimmten Passage benötigt, gebe ich euch in der Fußnote des jeweiligen Abschnittes.

Also würde ich mal sagen, ran an den Abakus, fertig, los:

Der älteste unter den Neulingen

Topf der Begierden

Den Anfang mache ich hierbei mit einem inzwischen schon richtigen Klassiker, nämlich dem Topf der Begierden. Für den unwahrscheinlichen Fall, dass jemand die Karte nicht kennen sollte, hier sein Effekt in Kurzfassung: Wir verbannen zuerst die obersten zehn Karten des Main Decks verdeckt und ziehen anschließend zwei Karten.

Dies bedeutet, unsere Karte besteht aus zwei Szenarien: Einmal die zwei Karten ziehen und wie hoch die Chance ist, dabei die Karte zu bekommen, die wir unbedingt haben wollen und zweitens wie hoch die Chance ist, eine bestimmte Karte nicht zu verbannen.

Fangen wir einfach mal mit dem einfachsten Szenario an: Wie wahrscheinlich ist es, unsere gewollte Karte auf der Starthand zu haben, wenn wir mit Topf der Begierden starten[1].

Kopien Normal Draw Desire Draw Desire Draw + Start Hand
1 12,50 % 5,31 % 15,38 %
2 23,72 % 10,12 % 28,74 %
3 33,76 % 14,98 % 40,30 %
4 42,71 % 19,70 % 50,25 %
5 50,66 % 24,29 % 58,78 %
6 57,71 % 28,74 % 66,05 %

Zuerst einmal: Die erste Spalte Kopien sagt an, wie häufig wir unsere gewünschte Karte spielen. Als Beispiel nehme ich hier mal Rotäugige Fusion sowie Rotäugiger Einblick, welche man in Summe bis zu sechsmal spielen könnte. Die zweite Spalte gibt an, wie wahrscheinlich es ist, mindestens eine Kopie von unserer gewünschten Karte auf unserer normalen Starthand von fünf Karten zu ziehen. In der dritten Spalte wird in Betracht gezogen, wie wahrscheinlich wir selbige Karte über den "ziehe zwei Karten"-Effekt ziehen würden. Da Letzteres aber relativ uninteressant ist, hab ich mich dazu entschieden, noch eine vierte Spalte einzuführen, in welcher wir betrachten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, entweder durch Topf der Begierden in die gewünschte Karte hereinzuziehen oder alternativ mit selbigen in unseren übrigen vier Karten zu starten.

Da ich solche nackten Zahlen aber eher langweilig finde, wollen wir das ganze auch noch mal grafisch abbilden, da man hier meine Ansicht nach noch einige Details erkennen kann:

Diagramm Ziehrate von Topf der BegierdenWas man zuerst einmal erkennt, ist natürlich die Tatsache, dass der Zieh-Effekt von Topf der Begierden alleine betrachtet, relativ gering ausfällt, wenn man es mit dem Ziehen der normalen Starthand vergleicht. Das sollte keinen überraschen, da es ja nur logisch ist, das fünf Karten ziehen bei Weitem mächtiger ist, als nur zwei zu ziehen. Interessanter sind da dann doch eher die normale Starthand in Relation zur Starthand mit dem Zieh-Effekt der Zauberkarte. Effektiv ist dies zwar auch nur ein Vergleich von fünf auf sechs Karten als Starthand, doch gerade in dieser grafischen Form wird meiner Ansicht nach ein Effekt besonders stark erkennbar: der Abstand, welcher zwischen der normalen Starthand und dem mit Topf + Starthand, spreizt sich mit jeder weiteren Kopie mehr (2,88 % bis zu 8,34 % Differenz), bis es einen maximalen Schwellenwert von sechs Kopien (8,34 %) erreicht hat und flacht dann immer weiter ab (die siebte Kopie wäre schon bei einer Differenz von 8,30 %). Das ist darum interessant, weil die Effektivität von Topf der Begierden mit jeder zusätzlichen Kopie über sechs abnimmt. Es ist also gut geeignet, um die Ziehrate von Rotäugige Fusion zu steigern, aber verliert minimal an Effizienz, wenn man Aleister der Beschwörer ziehen möchte (man zieht ihn mit Topf zwar immer noch häufiger, aber die Wachstumsrate für jede weitere Kopie von Aleister beziehungsweise Aleister-Ersatz sinkt rasch).

Interessanter ist in den Augen vieler aber eher die Quote, mit der ich mir mein Deck "kaputt" machen kann. Die nackten Zahlen hierfür sähen folgendermaßen aus[2]:

Kopien Normal Draw Desire Draw + Start Hand Desire Death Desire Death Least 1
1 12,50 % 15,38 % 25,64 % 25,64 %
2 23,72 % 28,74 % 6,07 % 45,21 %
3 33,76 % 40,30 % 1,31 % 60,02 %
4 42,71 % 50,25 % 0,26 % 71,12 %
5 50,66 % 58,78 % 0,04 % 79,37 %
6 57,71 % 66,05 % 0,01 % 85,44 %

Während die ersten drei Spalten aus der vorherigen Tabelle bekannt sein dürften, sind die beiden letzten Spalten komplett neu. Dabei beinhaltet die Spalte "Desire Death" die Wahrscheinlichkeit, alle Kopien unserer Karte zu verbannen. So könnte man das für die ersten drei Zeilen beispielsweise mit der Wahrscheinlichkeit vergleichen, alle Kopien von ein, zwei oder drei Psi-Hüllentreiber zu spielen und alle zu verbannen. Doch auch wenn sich viele nur auf die Ergebnisse dieser Spalte stürzen, halte ich die Werte aus der nächsten Spalte für sehr viel wichtiger. Hier handelt es sich nämlich darum, wie schädlich das Ganze wäre, wenn der Verlust von mindestens einer dieser Kopien zu Problemen führen könnten. Wenn wir noch mal auf unser Beispiel mit Rotäugiger Fusion zurückkommen, wären die zwei Kopien vergleichbar mit der Verwendung von je einen Rotäugiger schwarzer Drache und einen Dunkler Magier. Denn schon der Verlust von einem dieser beiden Karten würde dafür sorgen, dass unsere zuvor aufgestellten drei Rotäugige Fusion und drei Rotäugiger Einblick ihren Wert verlieren würden.

Wir wollen uns auch diese Daten noch mal grafisch zu Gemüte führen:

Diagramm Schadensrate von Topf der BegierdenZuerst einmal erkennt man das meiner Ansicht nach selbstverständliche. Die "normale" Wahrscheinlichkeit, in ein Problem zu kommen, startet bei 25 % und sinkt mit jeder weiteren Kopie rapide gegen 0 %. Das ist auch der Grund, warum ich diese Werte für uninteressant halte, da alleine schon eine "2 Off" seltener als 6 % verloren geht und damit in etwas mehr als jedem zwanzigsten Duell, wo man mit Topf der Begierden spielt, eintritt. Alleine das ist schon verschwindend gering, dass man sich hier kaum Sorgen machen muss[3]. Vereinfachen wir unser Beispiel von vorhin einfach nur auf drei Rotäugiger Einblick und einen Rotäugiger Wyvern und gehen davon aus, der Rest wären keine Bricks. Nun könnte man also meinen, man spiele doch einfach zwei Wyvern, da hier die Chance, beide zu verbannen bei Läpischen 6 % läge und man in 94 % der Fälle weiterhin den Einblick benutzen könne. Doch wenn man sich das Ganze aus einem anderen Blickwinkel anschaut, sollte selbst ein einzelner Wyvern bei drei Topf der Begierden keine allzu großen Schwierigkeiten machen: Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass wir garantiert mit dem Topf starten. Doch selbst mit drei Kopien trifft dieser Start gerade mal in 33,76 % aller Spiele auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir unseren einen Wyvern mit einem Topf verbannen, liegt bei 25,64 %. Und die Chance, den Einblick mit dem Topf zu ziehen, liegt gerade mal bei 14,98 %. Denn in jedem anderen Szenario wäre es uns ja egal, ob der Wyvern verbannt wird, da man entweder den Einblick nicht hat oder man habe ihn zuvor und wäre in der Lage, diesen zu benutzen, bevor wir den Topf aktivieren. Wenn man diese drei Fälle also miteinander in Relation stellt, kommen wir aufgerundet auf 1,30 %. Das bedeutet, wenn unser Spiel nur diesen einen Spielzug andauern würde, wäre das ganze gerade mal in etwas mehr als einem von einhundert Spielen relevant.

Doch da das ganze meist mit weiteren Bricks verbunden ist, wo der Verlust eines Einzelnen schon verheerende Auswirkungen hätte, so wie bei Rotäugige Fusion und den beiden normalen Monstern, dann wird die letzte Wahrscheinlichkeit viel interessanter. Und hier wird das Ganze schon sehr viel aussagekräftiger. Denn während wir bei einem einzelnen Brick mit einer 25 %igen Chance rechnen müssen, ihn zu verbannen, führen zwei schon zu 45 % und damit etwas weniger als jede zweite Aktivierung der Zauberkarte. Berechnet man auch auf diese 45 % das "Musst den Topf und das Combo Piece(6) erst mal ziehen"-Framework mit ein[4], so liegt unsere Chance gerade mal bei aufgerundet 4,39 %, was natürlich immer noch sehr wenig ist, nähert sich aber viel schneller unschöner Werte an. Drei Bricks, was zufällig ein Rotäugiger Wyvern, ein Dunkler Magier und ein Rotäugiger Schwarzer Drache entspräche, wären schon 60 % Verbannungsrate und eine 5,82 %-Rate im Framework einen Death Draw zu haben. Das entspräche jedem 20. Game, also jedem 6. bis 10. Match. Und das reicht schon aus, um ein Spiel automatisch zu verlieren.

Der ewig Teure

Topf der Extravaganz

Der nächste Topf auf meiner Berechnungsliste ist der Topf der Extravaganz, welcher bei Budget-Spielern langsam aber sicher auch den Titel des "immer teuren" Topfes errungen hat, da es im Moment keine Kopie gibt, die weniger als 20€ das Stück kostet. Ich komme aber vom Thema ab. Denn wenn man die restlichen Einschränkungen ausblendet, die einem der Topf gibt, kann man auch diesen Topf auf ein ähnliches Niveau runterbrechen wie Topf der Begierden: Wir verbannen sechs Karten von unserem Extra Deck verdeckt und ziehen dafür zwei Karten. Sprich anstatt aus unserem "35 Karten" Main Deck zehn Karten zu verbannen, verbannen wir nun stattdessen sechs auf fünfzehn Extra Deck Karten.

Spontan könne man nun sagen, dass ich ja jetzt effektiv die gleichen Rechnungen machen könnte, wie beim Topf der Begierden machen könne und meinen Feierabend einläuten könnte. Doch ein Aspekt kommt bei Topf der Extravaganz mehr in den Mittelpunkt, der gerne außer Acht gelassen wird. Doch zuerst einmal die nackten Zahlen[5]:

Kopien Normal Draw Extrav Draw + Start Hand Extrav Death 1 Off Extrav Death 2 Off Extrav Death 3 Off
1 12,50 % 15,38 % 40,00 % 14,29 % 4,40 %
2 23,72 % 28,74 % 65,71 % 14,29 % 4,40 %
3 33,76 % 40,30 % 81,54 % 17,47 % 4,40 %
4 42,71 % 50,25 % 90,77 % 17,47 % 8,77 %
5 50,66 % 58,78 % 95,80 % 39,58 % 8,77 %
6 57,71 % 66,05 % 98,32 % 39,58 % 8,77 %

Die ersten drei Spalten sind hier relativ selbsterklärend und stellen Vergleichswerte zu den vorherigen Ergebnissen dar. Gerade die dritte Spalte ist effektiv einfach nur die Spalte "Desire Draw + Start Hand", da sie einfach nur den Topf mit diesem austauscht.

Interessanter sind dann wohl eher die letzten drei Spalten. Hierbei hab ich mich entschieden, unser vorheriges Szenario "mindestens eine Kopie verbannen erzeugt Probleme" weiter aufzubohren und in "eine Kopie verbannen", "zwei Kopien verbannen" und "drei Kopien verbannen" aufzuschlüsseln. Warum ich das gemacht habe, wird bei der Funktionsweise des Extra Decks recht schnell klar: Wenn ich eine Schlüssel-Karte im Extra Deck dreimal habe, beispielsweise Spioral Doppelhelix, wie wahrscheinlich schieße ich mich damit ins eigene Knie, indem ich alle drei Kopien verbanne. Und gerade da das Extra Deck nicht gerade groß ist, wird man auch Karten gerne nur als 2- oder gar 1-Off spielen wollen und wissen wollen, wie viel Schaden dies anrichten kann. Gut, doch warum hab ich dann bis zu sechs Kopien bei den Kategorien hinzugefügt, fragt ihr euch? Weil es auch hier Fälle gibt, wo eine Karte essenziell das Gleiche macht wie eine andere. Ein ideales Beispiel findet man im Altergeist-Deck, welches Linkuriboh als auch Grosalamander Almiraj spielen kann, um Altergeist Melussuche weglinken zu können. Darum ist es auch wenig überraschend, wenn man diese als 4-Off (je zwei Kopien) oder 6-Off (je drei Kopien) spielen möchte und viele weitere Kombinationsmöglichkeiten. Darum ist die Aufteilung, die ich hier verwende, vermutlich nichtmal genau genug aufgebohrt, macht meiner Ansicht nach Berechnungen rund um Topf der Extravaganz noch relevanter.

Kommen wir aber zur grafischen Abbildung, bevor wir die Ergebnisse interpretieren:

Diagramm Schadensrate von Topf der ExtravaganzWas natürlich sofort auffällt, ist die riesige rote Fläche, die sich über die anderen Ergebnisse her aufbäumt. Und das ist auch kein Wunder, da es davon ausgeht, dass wir Topf der Extravaganz in einem stinknormalen Kombodeck geschmissen haben, wo wir unsere Schlüssel-Kombo-Karten nur als 1-Offs integriert haben und jede Einzelne essenziell ist, um spielen zu können. Und selbsterklärend steigt mit der Zahl solcher essenzieller 1-Offs auch die Chance auf einen gefährlichen Schaden. Zwar sinkt zugleich auch die Wachstumsrate von Schritt zu Schritt enorm (von ein zu zwei Kopien ist die Wachstumsrate noch bei rund 25 %, bei zwei zu drei Kopien nur noch rund 15 %, ...), doch sie nähert sich auch sehr schnell der 100 % an. Es wird recht schnell klar, dass man es sich gut überlegen sollte Topf der Extravaganz in ein Deck zu integrieren, wo man essenzielle Extra Deck Monster nur einmal spielen kann, da schon bei nur zwei solcher Kopien sehr hohe Wahrscheinlichkeiten erreicht werden.

Interessanter wird das Ganze aber schon bei 2-Offs. Da steigt zwar die Wachstumsrate je Schritt an, und das teils sogar enorm (siehe Sprung von vier auf fünf Kopien), doch dafür sind alle Werte für bis zu sechs Kopien unterhalb der 40 %-Grenze. Analog dazu könnte man jetzt noch auf die 3-Offs schauen, doch man sieht ja schon an der Grafik, dass die Zahlen hier so verdammt klein sind, dass es nicht mehr nennenswert ist. Zudem finde ich in der Zusammenstellung 2-Offs interessanter, da eine große Zahl verschiedener 2-Offs die Flexiblität des eigenen Decks stark erhöht, anstatt alles stumpf mit 3-Offs abzubilden. Besonders ansprechend und leider recht kompliziert wird das ganze, wenn man die optimale Mischung an 2- und 3-Offs für das eigene Deck sucht. Auf einer ähnlichen Grundlage habe ich auch mein Extra Deck für die eYCS 7 aufgebaut, welche bis auf Rotäugiger Dunkler Dragoner nur aus 2-Offs, Pseudo-2-Offs (Linkspinne und Imduk der Weltkelch-Drache sind an sich 1-Offs erfüllen beide aber die Aufgabe, die Fallenmonster wegzulinken, bieten zugleich aber auch Unterschiede, welche es nötig machen, beide zu spielen) und nicht übertrieben wichtigen 1-Offs[6]. Denn auf der einen Seite wollte ich von der Draw-Power des Topf der Extravaganz profitieren, zugleich aber so wenig wie möglich Verluste in der Spielstärke von Nadir Diener oder Dogmatika-Bestrafung einfahren. Da hat mir die obere Grafik und weitere Berechnungen schon sehr viel bei meiner Extradeckwahl geholfen.

Hat es da gerade zur Pause geklingelt?

Ja, ich muss euch heute leider auf das nächste mal vertrösten, da ich so langsam an das Limit eurer Auffassungsgabe gekommen bin. Aber keine Sorge, ich werde in wenigen Wochen den zweiten Teil nachreichen. Unterdessen hoffe ich das dieser erste Teil euch weitergeholfen hat und vielleicht dafür sorgt, die eine oder andere Karte nochmal aus einem anderen Betrachtungswinkel anzuschauen.

-deckcreator16


[1] Normal Draw: Standardfall, wie häufig man Karte X in einer Fünf Karten Starthand aus 40 Karten zieht.

Desire Draw: Hierbei gehen wir nur vom "ziehe zwei" aus einem 39 Karten Deck(wir haben ja garantiert den Topf gezogen) aus, die Karte X zu ziehen.

Desire Draw + Start Hand: Hier gehen wir davon aus, wie hoch die Chance ist, aus 39 Karten(Topf gezogen) entweder auf den verbliebenen vier Starthandkarten oder dem zusätzlichen "ziehe zwei", also einer Starthand von sechs, mit der Karte X zu starten.

In jedem dieser Fälle gehen wir davon aus, dass wir Karte X mindestens einmal sehen wollen, wir können sie aber auch bis zu X mal sehen wollen.

[2] Desire Death: Hier habe ich mich auch wieder auf 39 verbliebenen Karten gestützt und geschaut, wie wahrscheinlich ich exakt X Kopien verbanne. Dafür betrachte ich die Zehn verbannten Karten wie eine Zehn Karten Starthand.

Desire Death Least 1: Ebenso starten wir hier mit 39 Karten, gucken aber viel eher, wie wahrscheinlich wir ein bis X Kopien verbannen.

[3] Ich habe mir dieses Wissen auch schon in einem meiner privaten Decks als Grundlage genommen: So habe ich eine sehr lange Zeit Himmelsjäger nur mit exakt zwei Effektverschleierin gespielt. Der Grund dafür ist recht einfach: Ich präferiere im Go 2nd Build möglichst viele Zauberkarten zu haben, um das volle Potenzial der +1-Effekte aller verbliebenen Himmelsjäger-Karten durchzubekommen. Da Handtraps aber vorwiegend Monster sind, wollte ich diese auf ein Minimum reduzieren. Nun sollte aber irgendwie die Halqifibrax-Engine aus Effektverschleierin sowie Kristron Halqifibrax, Selene, Königin der Meistermagier und Zugriffskodier-Sprecher integriert werden, da sie einem einen schnellen OTK ermöglicht. Die dafür notwendigen Empfänger hole ich mir primär durch Himmelsjäger-Mecha - Witwenanker und Himmelsjäger-Mecha - Haikanone vom Gegner, da selbige für ihre eigenen Kombos oder Interrupts in Form von Handtraps notwendig waren. Das hat mir einen entscheidenden Konsistenz-Boost gegeben, da ich die frei gewordenen Slots mit Power-Zauberkarten füllen konnte, die es meinem Gegner ziemlich schwer machten.

[4] Dieses "Framework" ist eine einfache Auf-Multiplikation der beiden anderen Szenarien "Chance den Topf zu ziehen" und "Chance in das Combo Piece(X) mit dem Topf zu ziehen". Denn Verknüpfungen von Wahrscheinlichkeitsereignissen können nur zwei Formen annehmen: "oder-Verknüpfungen" welche addiert werden (sprich Szenario A ODER Szenario B entspricht Wahrscheinlichkeit für A + Wahrscheinlichkeit für B) und "Und-Verknüpfungen" welche multipliziert werden (sprich Szenario A muss eintreten UND Szenario B muss eintreten, was Wahrscheinlichkeit für A * Wahrscheinlichkeit für B entspricht).

Während bei dem Framework "Chance den Topf zu ziehen" bei einem 40 Karten Deck und einer 5-Karten-Starthand immer bei 33,76 % bleiben wird, kann die "Chance in das Combo Piece(X) mit dem Topf zu ziehen" sehr viel stärker variieren, je nachdem wie häufig wir das Combo Piece (also X) spielen. In den folgenden Rechenbeispielen bleibe ich exemplarisch bei sechs, da das drei Rotäugige Fusion und drei Rotäugiger Einblick entspricht, um das Ganze vergleichbarer zu machen (Gesamtergebnis des Beispiel-Frameworks: 9,70 %). Habt das aber im Hinterkopf, wenn ihr all das für euer Szenario optimieren wollt.

[5] Extrav Draw + Start Hand: Hier gehen wir davon aus, wie hoch die Chance ist, aus 39 Karten(Topf gezogen) entweder auf den verbliebenen vier Starthandkarten oder dem zusätzlichen "ziehe zwei", also einer Starthand von sechs, mit der Karte X zu starten.

Extrav Death 1 Off: Die Wahrscheinlichkeit aus 15 Extra Deck Karten eine zu treffen, wo der Verlust einer Kopie schon Probleme macht.

Extrav Death 2 und 3 Off: So wie bei Extrav Death 1 Off, nur dass man hier mindestens 2/3 Kopien treffen muss, um Probleme zu bekommen.

[6] An der Stelle sei wohl noch erwähnt, dass ich nicht umsonst viele Beispielrechnungen mit Karten gemacht habe, welche ich in diesem eYCS-7-Deck oder meinem eYCS-8-Deck verwendet habe. Denn mir kam beim Bauen des eYCS-7-Decks die Idee für diesen Artikel und seither habe ich nur noch weiteres Material gesammelt, um euch was Sauberes formulieren zu können.